訊號源與頻譜分析：波形產生器與頻譜分析儀

一個負責產生，一個負責看穿

要研究一個電子系統，你需要兩種能力：先「餵」給它一個乾淨、已知的訊號，再「量」出它送回來的訊號長什麼樣子。波形產生器（waveform generator）扮演前者，它在時域（time domain）裡合成一段隨時間起伏的電壓；頻譜分析儀（spectrum analyzer）扮演後者，它把訊號攤到頻域（frequency domain），告訴你每個頻率各占多少能量。前者問「這一刻電壓是多少」，後者問「這段訊號由哪些頻率組成」——同一個訊號的兩種面貌，正是後面 Fourier（傅立葉）分析的核心。

實機照片：RIGOL DSA1030A 頻譜分析儀，螢幕上為頻域顯示。照片：Dave Clausen／Wikimedia Commons，CC BY 2.0。

波形／函數產生器（function generator）

函數產生器能輸出正弦波、方波、三角波與脈衝（pulse）等基本波形，並讓你調整四個關鍵參數：頻率、幅度、直流偏壓（DC offset，把整個波形整體上下平移）與占空比（duty cycle，一個週期中高電位所占的比例）。更進階的任意波形產生器（任意波形產生器，arbitrary-waveform generator，AWG）則可輸出使用者自行定義的任意波形——你把想要的波形逐點畫出或用程式算好，它就照樣重現。許多機型內部採用直接數位合成（direct digital synthesis，DDS）技術，以數位方式精準產生頻率。

有一個經典陷阱：函數產生器的輸出阻抗通常是 $50\ \Omega$。當它接上一個匹配的 $50\ \Omega$ 負載時，內部阻抗與負載形成分壓，實際落在負載上的電壓只有開路電壓的一半；反過來說，若你接的是高阻抗（例如示波器的 $1\ \mathrm{M}\Omega$ 輸入），量到的電壓會是設定值的兩倍。設定 $1\ \mathrm{V}$ 卻量到 $2\ \mathrm{V}$，多半就是這個原因。選機時要看的規格包括：頻率範圍、頻率解析度、幅度範圍、失真、上升時間與通道數。

頻譜分析儀（spectrum analyzer）

頻譜分析儀把一段訊號從時域轉到頻域，畫出每個頻率上的功率，橫軸是頻率、縱軸多以 $\mathrm{dBm}$（相對於 $1\ \mathrm{mW}$ 的分貝）表示。它有兩大類：掃頻式（swept-tuned，又稱超外差 superheterodyne），用一個可調的本地振盪器逐一「掃過」各頻率；以及 FFT 式，直接對取樣資料做快速傅立葉變換（fast Fourier transform，FFT）一次算出整段頻譜。

最該理解的規格是解析頻寬（resolution bandwidth，RBW）：它決定儀器能分辨多靠近的兩個頻率。RBW 越小，能看見越細緻的頻率結構，本底雜訊（noise floor）也越低——但代價是掃頻時間（sweep time）大幅拉長。其餘規格還有頻率範圍、動態範圍（dynamic range，能同時容納的最強與最弱訊號差距）與掃頻時間。它的典型用途包括量測諧波失真、雜訊、調變（modulation）以及電磁干擾（EMI）。

動手算：RBW 的取捨與方波的奇次諧波

掃頻式分析儀的掃頻時間大致與 RBW 的平方成反比：$T_\text{sweep} \approx \dfrac{k \cdot \text{Span}}{\text{RBW}^2}$。把 RBW 減半，理論上本底雜訊會下降約 $10\log_{10}(2) \approx 3\ \mathrm{dB}$（看得更清楚、更靈敏），但掃頻時間卻要變成四倍。這就是頻譜分析最根本的取捨：想看得細、看得深，就得掃得慢。

再看方波。一個振幅 $A$、基頻 $f_0$ 的理想方波，其傅立葉級數只含奇次諧波： $$v(t) = \frac{4A}{\pi}\left(\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \cdots\right).$$ 因此在頻譜分析儀上，你會在 $f_0,\ 3f_0,\ 5f_0,\ \dots$ 看到一根根長條，高度依 $1,\ \tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{5}$ 遞減。換算成分貝，第三諧波約在基頻下方 $20\log_{10}(1/3) \approx -9.5\ \mathrm{dB}$，第五諧波約 $-14\ \mathrm{dB}$。時域裡看似單純的方波，在頻域裡其實是一整列諧波——這正是本文開頭「兩種面貌」的具體印證。

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深入探討（研究所視角）

頻域分析的數學基礎是 Fourier（傅立葉）分析：任何週期訊號都能展開成一組正弦與餘弦的疊加，非週期訊號則以傅立葉變換寫成連續頻譜。頻譜分析儀所畫的，本質上就是訊號傅立葉分量的功率分布。

DDS 的核心是相位累加器（phase accumulator）：一個暫存器每個時脈週期加上固定的相位增量，累加值代表當下相位，再經查表轉成振幅並送入數位類比轉換器（DAC）。相位增量越大、輸出頻率越高，改一個數字就能精準切換頻率，這是它頻率解析度極高的原因。

掃頻式分析儀採超外差（superheterodyne）架構：把輸入訊號與本地振盪器（local oscillator）混頻（mixing），將感興趣的頻率搬移到固定的中頻（intermediate frequency），再讓它通過一個中心頻率固定、頻寬等於 RBW 的濾波器。RBW 濾波器越窄，頻率分辨越細，但根據時間與頻率的不確定性關係——即 Gabor 極限（Gabor limit），這是傅立葉分析的固有性質——濾波器要「安定」下來所需的時間反比於其頻寬，於是窄 RBW 必然對應長掃頻時間，兩者無法兼得。

最後，FFT 式分析對有限長度的取樣資料運算，等於隱含地把訊號乘上一個矩形窗（window）。若訊號頻率不是頻率解析格點的整數倍，能量會「滲」到鄰近頻率，形成頻譜洩漏（spectral leakage）。實務上會改用漢寧（Hann）、漢明（Hamming）等平滑窗函數壓低旁瓣，代價是主峰略微變寬——這又是一次頻率解析度與洩漏抑制之間的取捨，與 RBW 的故事一脈相承。