電磁波與坡印廷向量：從波動方程到能流的嚴謹推導

從馬克士威方程組到自由傳播的波

當我們撥開電磁學的層層細節，會發現一個直覺上極其優雅的事實：電場與磁場可以互相「孕育」彼此，於是不需要任何電荷或電流持續供能，擾動就能脫離源頭、以光速在真空中自我維持地傳播。這正是電磁波。要把這句直覺變成嚴謹物理，必須回到自由空間（無源區，$\rho=0$、$\mathbf{J}=0$）的馬克士威方程組：

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,$$ $$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.$$

關鍵在於最後一式中由馬克士威補上的位移電流項 $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$。沒有它，變動電場無法生磁場，波動方程也就無從導出。

波動方程的推導

對法拉第定律兩邊取旋度：

$$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B}).$$

左邊套用向量恆等式 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}$，而在無源區 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$，故左邊化為 $-\nabla^2\mathbf{E}$。右邊代入安培—馬克士威定律 $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$，得

$$\nabla^2\mathbf{E}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.$$

這是標準的波動方程，比對 $\nabla^2 f=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}$ 即知波速

$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.$$

代入 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$、$\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$，算得 $c\approx2.998\times10^{8}\ \mathrm{m/s}$，恰為光速——這是電磁學史上最震撼的結論：光就是電磁波。對 $\mathbf{B}$ 重複同樣步驟可得完全相同形式的方程。

平面波解與場的橫向性

考慮沿 $+z$ 方向傳播的單色平面波，取試解

$$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},\qquad \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_0\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},$$

其中 $\mathbf{k}=k\hat{z}$ 為波向量。代回波動方程得色散關係 $k^2=\mu_0\varepsilon_0\,\omega^2$，即 $\omega=ck$。

由 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$，作用在平面波上等價於 $i\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0$，故 $\mathbf{E}\perp\mathbf{k}$；同理 $\mathbf{B}\perp\mathbf{k}$。電磁波是橫波。再由法拉第定律 $\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ 化為

$$i\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0=i\omega\mathbf{B}_0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{B}_0=\frac{\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0}{\omega}=\frac{\hat{k}\times\mathbf{E}_0}{c}.$$

這告訴我們三件事：$\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$、$\mathbf{k}$ 兩兩正交且構成右手系；兩者同相位；且振幅滿足 $|\mathbf{E}|=c|\mathbf{B}|$。

坡印廷向量：能量往哪裡流

電磁場攜帶能量，能量密度為

$$u=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2\right).$$

問題是：能量如何在空間中流動？答案由坡印廷向量給出：

$$\boxed{\ \mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}\ }$$

其單位為 $\mathrm{W/m^2}$，代表單位時間通過單位面積的能量。它的合法性根植於坡印廷定理，可由馬克士威方程組嚴格導出。考慮 $\nabla\cdot\mathbf{S}$，利用向量恆等式 $\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{E})-\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$，再代入旋度方程，可整理出能量守恆的局域形式：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{S}=-\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}.$$

右邊 $-\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$ 是場對電荷做功的功率密度（焦耳熱來源）。在無源區它為零，此式即為純粹的能量連續方程：場能密度的減少恰等於坡印廷流的散度，能量既不憑空產生也不消失，只是被 $\mathbf{S}$ 搬運出去。

對前述沿 $+z$ 傳播的平面波，$\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 指向 $+\hat{z}$，方向與傳播方向一致——能量隨波前進。其瞬時大小 $S=EB/\mu_0=E^2/(\mu_0 c)$。對時間取平均（正弦場的均方為峰值平方的一半），得平均坡印廷量值即「光強度」：

$$\langle S\rangle=I=\frac{1}{2}\,\frac{E_0^2}{\mu_0 c}=\frac{1}{2}\,c\varepsilon_0 E_0^2,$$

其中第二式用到了 $1/(\mu_0 c)=c\varepsilon_0$。

定量小範例

設陽光在地表附近的平均強度約為 $I=1000\ \mathrm{W/m^2}$（接近 AM1.5 標準），求其電場與磁場的振幅。

由 $I=\dfrac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2$ 解出

$$E_0=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_0}}.$$

代入數值：

$$E_0=\sqrt{\frac{2\times1000}{(3.00\times10^{8})(8.854\times10^{-12})}}=\sqrt{\frac{2000}{2.656\times10^{-3}}}\approx\sqrt{7.53\times10^{5}}\approx8.68\times10^{2}\ \mathrm{V/m}.$$

對應磁場振幅

$$B_0=\frac{E_0}{c}=\frac{868}{3.00\times10^{8}}\approx2.9\times10^{-6}\ \mathrm{T}.$$

可見即使是相對強的日照，電場也不過數百伏特每米，磁場僅微特斯拉量級——遠小於地磁場（約 $50\ \mu\mathrm{T}$）。這量級感正是普物層次該培養的直覺。順帶一提，若這束光被完全吸收，會施加輻射壓 $P=I/c\approx3.3\times10^{-6}\ \mathrm{Pa}$；若完全反射則加倍。

深入探討（研究所視角）

在研究所層次，電磁波最自然的語言是相對論性場論。引入四維位勢 $A^\mu=(\phi/c,\mathbf{A})$ 與場張量 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$，整組馬克士威方程組可壓縮為兩行：$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0 J^\nu$ 與比安基恆等式 $\partial_{[\alpha}F_{\mu\nu]}=0$。電磁場的動力學則由勞侖茲不變的拉格朗日密度

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J_\mu A^\mu$$

決定，對 $A^\nu$ 變分施以歐拉—拉格朗日方程便重現含源馬克士威方程。值得注意 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(B^2-E^2/c^2)$ 是一個勞侖茲不變量，這解釋了為何不同慣性系觀察者測得的 $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 雖各異，某些組合卻守恆。

由此拉格朗日，透過諾特定理對應於時空平移不變性的守恆流，便是對稱化後的應力—能量張量 $T^{\mu\nu}$。其中 $T^{00}$ 正是能量密度 $u$，而 $T^{0i}/c$ 正比於坡印廷向量的分量——這揭示了一件深刻的事：坡印廷向量不只是能流，它同時是電磁場動量密度 $\mathbf{g}=\mathbf{S}/c^2$ 的化身。場本身攜帶動量與角動量，這正是輻射壓與光學扳手（optical wrench）的根源。應力張量的空間部分 $T^{ij}$（馬克士威應力張量）則讓我們能把電磁力寫成通過閉合曲面的「動量通量」，是計算輻射力與粒子間電磁交互作用的標準工具。

哈密頓表述下，將場與其共軛動量 $\pi^i=\partial\mathcal{L}/\partial\dot{A}_i$ 正則量子化，光子便自然湧現為電磁場的量子激發；坡印廷流的期望值對應到光子流。規範自由度（$A^\mu\to A^\mu+\partial^\mu\chi$ 不改變 $F^{\mu\nu}$）在此成為理解光子無質量、僅有兩個橫向偏振態的關鍵，也是 U(1) 規範對稱性——整個標準模型規範理論的最簡原型。

在連結其他主題方面，把 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 推廣到非阿貝爾群即得楊—米爾斯理論；將真空 $\varepsilon_0,\mu_0$ 替換為介質的本構關係並允許其隨頻率變化，便進入色散、群速與相速分離、乃至負折射超穎材料的領域。而坡印廷定理在介質中需改用馬克士威應力張量與 Abraham–Minkowski 動量之爭，至今仍是輻射動量在介質中如何定義的活躍課題。從普物的一條 $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0$，一路可通往場論、量子電動力學與當代光子學的最前沿。