光走直線的學問：反射、折射與透鏡成像

光走的是直線

在還沒進入「光是波還是粒子」的爭論之前，先承認一個日常經驗：陽光從雲縫灑下、手電筒在霧裡劃出一道光柱、桌上的物體投出邊緣清晰的影子——這些都告訴我們，在均勻介質裡，光沿直線傳播。

幾何光學就建立在這個樸素假設上：我們把光當成一條條「光線」（ray），不去管它的波長與相位，只追蹤它「往哪裡走、在界面上怎麼轉彎」。這套簡化驚人地好用——眼鏡、相機、顯微鏡、望遠鏡、潛望鏡、汽車後視鏡，全都靠它設計。只要物體的尺寸遠大於光的波長（約 $400$–$700$ 奈米），幾何光學就足夠精準。

反射：入射角等於反射角

光打在光滑表面（如鏡面）會被反射。反射定律只有兩條：入射光線、反射光線與法線共平面；且

$$ \theta_i = \theta_r $$

入射角與反射角都從法線量起，而不是從鏡面量起。平面鏡因此成出一個「正立、左右相反、與物體等大」的虛像——你照鏡子時，像看起來在鏡子後方，但那裡其實沒有光真正會聚，故稱虛像。

折射：光換了介質就轉彎

當光從一種介質（如空氣）斜射進入另一種介質（如水或玻璃），傳播方向會偏折，這就是折射。原因在於光在不同介質中的速度不同。我們用折射率 $n$ 描述：

$$ n = \frac{c}{v} $$

其中 $c$ 是光在真空中的速度，$v$ 是光在該介質中的速度。真空 $n=1$、空氣約 $1.0003$、水約 $1.33$、一般玻璃約 $1.5$。折射的定量規律就是司乃耳定律（Snell's law）：

$$ n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 $$

光從疏介質（小 $n$）進入密介質（大 $n$）時偏向法線；反之則偏離法線。筷子插進水裡看起來「折斷」、游泳池看起來比實際淺，都是折射造成的。

一個小範例：水中的光偏多少？

一束光以 $\theta_1 = 30^\circ$ 從空氣（$n_1 = 1.00$）射入水中（$n_2 = 1.33$），求水中的折射角 $\theta_2$。

代入司乃耳定律：

$$ 1.00 \times \sin 30^\circ = 1.33 \times \sin\theta_2 $$

由於 $\sin 30^\circ = 0.5$：

$$ \sin\theta_2 = \frac{1.00 \times 0.5}{1.33} \approx 0.376 $$

$$ \theta_2 = \arcsin(0.376) \approx 22.1^\circ $$

折射角約 $22^\circ$，比入射角小——光進入較密介質後確實偏向法線，符合直覺。

全反射與光纖

反過來看，若光從密介質要射向疏介質（如水到空氣），折射角會比入射角大。當入射角大到某個程度，折射角達到 $90^\circ$，光就完全無法穿出、整束被反射回原介質，稱為全反射。發生全反射的最小入射角叫臨界角 $\theta_c$，由 $n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin 90^\circ$ 得

$$ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \quad (n_1 > n_2) $$

光纖通訊正是靠全反射：光在玻璃纖維裡不斷全反射前進，幾乎不漏出，才能把訊號傳輸數十公里。

透鏡與面鏡：把光線「會聚」

把折射或反射用在彎曲表面上，就能讓平行光會聚成一點（焦點），這是所有成像系統的核心。對薄透鏡與球面鏡，物距 $s$、像距 $s'$ 與焦距 $f$ 滿足同一條成像公式：

$$ \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f} $$

放大率為 $m = -\dfrac{s'}{s}$。凸透鏡（會聚透鏡）的 $f>0$，能把物體放大或縮小、成實像或虛像，取決於物體放在焦距內外——放大鏡、相機、眼鏡、投影機，都是這條簡單公式的應用。理解了反射與折射這兩個界面規則，整個光學儀器世界就向你打開了。

深入探討（研究所視角）

幾何光學並非一套獨立的公設，而可由費馬最小時間原理（Fermat's principle）統一導出：光在兩點間實際走的路徑，是讓光程（optical path length，$\int n\,ds$）取穩定值（極值或鞍點）的路徑。對此泛函取變分，即得到程函方程式（eikonal equation）

$$ |\nabla S|^2 = n^2(\mathbf{r}), $$

其中 $S(\mathbf{r})$ 為程函（eikonal），其等值面就是波前，光線則是垂直於波前、沿 $\nabla S$ 的曲線。反射與折射定律不過是程函在界面上切向分量連續的推論——這也直接對應波動光學裡在短波長極限（$\lambda \to 0$）下，由亥姆霍茲方程式經 WKB 展開所得的零階結果，揭示幾何光學是波動光學的「幾何極限」。

進一步把費馬原理寫成變分形式，可發現它與力學的最小作用量原理有深刻的數學同構：光程 $\int n\,ds$ 對應力學作用量 $\int p\,dq$，折射率 $n(\mathbf{r})$ 扮演如位能的角色。這正是 Hamilton 在十九世紀建立的「光學–力學類比」，後來成為薛丁格寫下波動方程式的關鍵靈感——幾何光學之於波動光學，恰如古典軌跡之於量子波函數。

在工程實作上，理想薄透鏡公式只是近軸近似（paraxial / Gaussian optics）的結果，亦即對 $\sin\theta \approx \theta$ 取一階。保留三階項 $\sin\theta \approx \theta - \theta^3/6$ 後，便出現賽德爾五像差（Seidel aberrations）：球面像差、彗差、像散、場曲與畸變；加上折射率隨波長變化（色散，$n=n(\lambda)$）導致的色像差。現代鏡頭設計即以光線追跡（ray tracing）搭配優化演算法，在多片透鏡的曲率、間距與玻璃材料之間平衡這些像差。近軸系統還可用 $2\times 2$ 的 ABCD 光線傳遞矩陣形式化，把折射面、自由傳播與反射面串成矩陣連乘，這套方法後來無縫延伸到雷射高斯光束的傳播分析，是幾何光學通往現代光子學的橋樑。