放射性衰變、半衰期與核能：從機率指數律到核反應器動力學

從機率到核能：放射性衰變的數學骨架

放射性衰變的核心直覺只有一句話：每個原子核是否在下一刻衰變，與它已經存在多久完全無關。它沒有記憶、不會「變老」。正是這個無記憶（memoryless）特性，把看似雜亂的核物理現象，收斂成一條極為乾淨的指數律。本篇從這個機率假設出發，推導半衰期、活度、衰變鏈與長期平衡，最後把這套形式接到核分裂與核能的能量帳本上。

我們先建立母方程。設某種核種在時刻 $t$ 的原子核數為 $N(t)$。「無記憶」意味著單位時間內每個核衰變的機率是一個常數 $\lambda$（衰變常數，單位 $\mathrm{s^{-1}}$），與 $t$、與該核的歷史無關。於是在 $[t, t+\mathrm{d}t]$ 內衰變的期望數目為 $\lambda N\,\mathrm{d}t$，得到一階線性微分方程：

$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda N.$$

分離變數積分，配合初始條件 $N(0)=N_0$：

$$N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}.$$

半衰期、平均壽命與活度

半衰期 $T_{1/2}$ 定義為 $N$ 降到一半所需時間。代入 $N(T_{1/2}) = N_0/2$：

$$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}.$$

平均壽命 $\tau$ 則是「一個核從生成到衰變」這個隨機變數的期望值。衰變時刻 $t$ 的機率密度為 $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$（指數分布），故

$$\tau = \int_0^\infty t\,\lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{\lambda}, \qquad T_{1/2} = \tau \ln 2.$$

實驗上我們量不到 $N$ 本身，而是量活度（activity）$A(t)$，即單位時間衰變數：

$$A(t) = -\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N(t) = A_0\, e^{-\lambda t}.$$

活度與 $N$ 服從相同的指數律，這也是定年法（如 $^{14}$C 定年）的基礎：測得殘餘活度比 $A/A_0$，即可反解 $t = -\frac{1}{\lambda}\ln(A/A_0)$。

值得強調，$N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ 是期望值。真實的衰變數是離散隨機事件，服從統計漲落。在固定觀測窗內，衰變計數近似 Poisson 分布，標準差為 $\sqrt{N}$，這是所有計數型核量測誤差棒的來源。

衰變鏈與長期平衡

實務上母核常衰變為一個本身也具放射性的子核，形成衰變鏈 $A \xrightarrow{\lambda_1} B \xrightarrow{\lambda_2} C$。子核 $B$ 的數量同時受到「母核餵入」與「自身衰變」兩項影響，是著名的 Bateman 方程：

$$\frac{\mathrm{d}N_B}{\mathrm{d}t} = \lambda_1 N_A - \lambda_2 N_B.$$

代入 $N_A = N_{A0}e^{-\lambda_1 t}$，這是一階線性非齊次方程。用積分因子 $e^{\lambda_2 t}$，在 $N_B(0)=0$ 下解得：

$$N_B(t) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1}\, N_{A0}\left(e^{-\lambda_1 t} - e^{-\lambda_2 t}\right).$$

當母核遠比子核長壽（$\lambda_1 \ll \lambda_2$，即 $T_{1/2}^A \gg T_{1/2}^B$），經過數個 $T_{1/2}^B$ 後，$e^{-\lambda_2 t}$ 衰盡，子核活度趨近母核活度，達到長期平衡（secular equilibrium）：

$$\lambda_2 N_B \approx \lambda_1 N_A \quad\Longrightarrow\quad A_B \approx A_A.$$

這正是醫療用 $^{99\mathrm{m}}$Tc 從 $^{99}$Mo「鉬鎝產生器」中淋洗的原理，也是天然鈾系（$^{238}$U → … → $^{206}$Pb）中各子核活度幾乎相等的物理解釋。

衰變的能量學：Q 值與結合能

衰變能否自發發生，由質能守恆決定。對反應 $X \to Y + y$，定義 Q 值為反應前後靜止質量差所釋放的能量：

$$Q = \left[m_X - (m_Y + m_y)\right]c^2.$$

$Q>0$ 時衰變放能、可自發進行；釋出的能量分配為產物的動能（與反衝）。例如 $\alpha$ 衰變中，$Q$ 由 $\alpha$ 粒子與反衝核依動量守恆分享，$\alpha$ 粒子帶走的份額為 $Q\cdot \frac{m_Y}{m_Y+m_\alpha}$。

更宏觀地看，核穩定性由結合能曲線主宰。每核子平均結合能 $B/A$ 在 $A\approx 56$（鐵峰）附近最大。輕核往右走（融合）或重核往左走（分裂），都會釋放能量——這就是恆星核融合與人造核分裂的共同能量來源。

定量小範例：$^{14}$C 定年

考慮一塊木炭樣本，其 $^{14}$C 對 $^{12}$C 比例為現代活體的 $25\%$。$^{14}$C 半衰期 $T_{1/2}=5730$ 年，求樣本年代。

步驟一：求衰變常數 $$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730\ \text{年}} = 1.21\times 10^{-4}\ \text{年}^{-1}.$$

步驟二：由活度比反解時間。因 $A/A_0 = N/N_0 = 0.25$， $$0.25 = e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{\lambda}\ln(0.25) = \frac{\ln 4}{\lambda}.$$

步驟三：代入數值 $$t = \frac{1.386}{1.21\times 10^{-4}} \approx 1.146\times 10^4\ \text{年}.$$

由於 $0.25 = (1/2)^2$，剛好等於兩個半衰期，亦可直接驗證 $t = 2\times 5730 = 11460$ 年，兩法一致。這顯示指數律的整潔之處：每過一個 $T_{1/2}$，殘量折半，無需任何特殊參數。

深入探討（研究所視角）

在更基本的層次，$\beta$ 衰變並非「核裡本來就有電子」，而是由弱交互作用驅動的夸克層級過程：$d \to u + e^- + \bar\nu_e$。費米（Fermi）1934 年的有效理論把它寫成四費米子點接觸耦合，其矩陣元正比於費米常數 $G_F$。由費米黃金法則（Fermi's golden rule），衰變率為

$$\Gamma = \frac{2\pi}{\hbar}\,|\langle f|H_{\text{int}}|i\rangle|^2\,\rho(E_f),$$

其中相空間因子 $\rho(E_f)$ 對連續的中微子能量積分，正是 $\beta$ 能譜呈連續分布的根源——也是 Pauli 當年為了搶救能量守恆而預言中微子的關鍵。Sargent 律 $\Gamma \propto Q^5$ 即從此相空間積分自然浮現。現代觀點下，弱作用由 $W^\pm$ 玻色子媒介，費米的點耦合是 $W$ 傳播子在低能 $q^2 \ll M_W^2$ 的退化極限，$G_F/\sqrt{2} = g^2/(8 M_W^2)$，把核衰變直接接上電弱統一理論。

$\alpha$ 衰變則是量子穿隧（tunneling）的教科書範例。Gamow 把 $\alpha$ 粒子視為被庫侖位壘困住的粒子，用 WKB 近似估算穿透係數

$$P \sim \exp\!\left(-\frac{2}{\hbar}\int_{R}^{b}\sqrt{2m\,[V(r)-E]}\;\mathrm{d}r\right),$$

積分上下限為核半徑 $R$ 與古典回返點 $b$。把指數展開後得到 Geiger–Nuttall 關係：$\log_{10}\lambda$ 與 $Q_\alpha^{-1/2}$ 成線性。這解釋了為何 $Q$ 值僅變化幾個 MeV，半衰期卻能橫跨二十多個數量級——指數對位壘的極端敏感性是穿隧的招牌特徵。

把這套機制放大到工程尺度，便是中子輸運與反應器物理。核分裂的中子族群演化由波茲曼輸運方程描述，工程上常簡化為點動力學（point kinetics）：

$$\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}t} = \frac{\rho - \beta}{\Lambda}\,n + \sum_i \lambda_i C_i, \qquad \frac{\mathrm{d}C_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\beta_i}{\Lambda}\,n - \lambda_i C_i.$$

此處 $\rho$ 為反應度、$\beta$ 為延遲中子份額、$\Lambda$ 為中子生成時間，$C_i$ 為延遲中子前驅核濃度。延遲中子（由分裂產物的 $\beta$ 衰變放出，時間尺度即受前面 $\lambda_i$ 控制）份額雖僅約 $0.65\%$，卻是反應器可被機械控制棒安全調節的根本原因——若僅靠瞬發中子（時間尺度 $\sim 10^{-4}$ s），任何臨界調控都將失控。可見從單核衰變的 $\lambda$，到 Bateman 鏈，再到反應器動力學中的 $\lambda_i$，同一條指數律貫穿了從微觀量子穿隧到巨觀能源工程的全部尺度。理論的連結性，正是核物理最迷人的數學風景。