極限的直觀

極限回答一個很日常的問題：當輸入「越來越靠近」某個值時，函數的輸出「趨向」什麼？整座微積分——導數、積分、級數——都建立在這個概念上。

從數值表與圖形看極限

考慮函數

$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

在 $x=2$ 這一點，分母為 $0$，$f(2)$ 沒有定義。但我們仍然可以問：當 $x$ 越來越靠近 $2$（但不等於 $2$）時，$f(x)$ 趨向哪裡？列一張數值表：

不論從左邊還是右邊靠近，$f(x)$ 都往 $4$ 集中。我們把這件事記作

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

為什麼是 $4$？因為只要 $x\neq 2$，就可以約分：

$$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$

所以在 $2$ 附近（但不等於 $2$），$f$ 的行為和直線 $y=x+2$ 一模一樣——圖形上就是一條直線，在 $(2,4)$ 處挖了一個洞。

極限關心的是「靠近時的趨勢」，不是「那一點的值」。函數在該點有沒有定義、值是多少，都不影響極限。

左極限與右極限

「靠近」有兩個方向。從右邊靠近記作 $x\to a^+$，從左邊靠近記作 $x\to a^-$。有些函數兩邊趨向不同的值，例如 $g(x)=\dfrac{|x|}{x}$：

• 當 $x>0$ 時 $|x|=x$，所以 $g(x)=1$；
• 當 $x<0$ 時 $|x|=-x$，所以 $g(x)=-1$。

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1,\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1$$

左右極限不相等，所以 $\lim_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ 不存在。一般而言：

極限存在，等價於左極限與右極限都存在且相等。

極限不存在的三種常見情況

1. 左右不相等（跳躍）：如上面的 $\dfrac{|x|}{x}$。
2. 無限增大：例如 $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty$——函數值沒有趨向任何有限值，習慣上記作趨於無窮（嚴格來說極限不存在，這個記號描述的是「增大的方式」）。
3. 震盪不定：$\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 在 $x\to 0$ 時，於 $-1$ 與 $1$ 之間無限來回，不趨向任何值。

動手看：sin(x)/x 在 0 附近

$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 沒有定義（$x$ 用弧度）。列表逼近看看：

數值一路貼近 $1$（從負的一側靠近也一樣，因為這個函數是偶函數）。事實上

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

這條極限是之後推導 $\sin x$、$\cos x$ 導數的關鍵。用下方的互動工具把 $\dfrac{\sin x}{x}$ 畫出來，親眼看看它在 $0$ 附近如何貼近 $1$——以及在 $(0,1)$ 處那個「看不見的洞」。